Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art gehört zum eher anspruchsvollen Themenbereich rund um Nullhypothesen. Sie gehört zusammen mit der Bestimmung eines Fehlers 1. Art hier zu den einfacheren Aufgabentypen. Sie laufen auf das Nachschlagen einer kumulierten Wahrscheinlichkeit bzw. deren Bestimmung mit einem graphikfähigen Taschenrechner hinaus. Aufgabe zum Fehler 2. Art Um die Wirksamkeit einer Wahlkampagne zu beurteilen, gibt eine Partei eine neue Umfrage in Auftrag, aus der hervorgehen soll, ob der Anteil $p$ ihrer Unterstützer in der Gemeinde seither über dem vorherigen Umfragewert von $30\, \%$ gestiegen ist oder nicht. Als Nullhypothese wird $p>0{, }3$ genommen und sie wird als bestätigt angesehen, wenn unter den 100 Befragten mindestens 31 die genannte Partei unterstützen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, wenn in Wirklichkeit $p=0{, }2$ gilt. Hintergrundwissen und Lösungsansatz Sowohl beim Fehler 1. als auch beim Fehler 2. Art liegt eine Binomialverteilung vor, deren Parameter $p$ mit einer Stichprobe untersucht wird.
deren tatsächlicher Wert ist aber vorgegeben. Das bedeutet, dass du den kompletten Sachverhalt, in den die Aufgabe eingebettet ist, im Prinzip vergessen kannst, so lange du entweder den Annahmebereich oder den Ablehnungsbereich der Nullhypothese kennst. Die Festlegung dieser Bereiche zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau ist typischerweise eine Aufgabe, die der Bestimmung einer Fehlerwahrscheinlichkeit 1. oder 2. Art vorausgeht. Siehe hierzu unser Video Entscheidungsregel beim Alternativtest. Was du dir grundsätzlich merken musst, ist die Definition für einen Fehler 1. Art und für einen Fehler 2. Art: Ein Fehler 1. Art ist eine irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese. Ein Fehler 2. Art ist eine irrtümliche Annahme der Nullhypothese. Strategie: Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs nachschlagen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 2. Art, d. h. einer irrtümlichen Annahme der Nullhypothese. Die Entscheidungsregel in der Aufgabenstellung besagt, dass die Nullhypothese angenommen wird, wenn mindestens 31 von 100 Befragten die Partei unterstützen.
Beim Hypothesentesten tritt ein Fehler 1. Art (auch Typ I Fehler) auf, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, auch wenn sie eigentlich wahr ist. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen ist gleich dem Signifikanzniveau α, auf dem getestet wird. In der wird auf einem Alphaniveau von α = 0. 05 getestete; wir sind also bereit, in 5% aller Fälle die Nullhypothese zurückzuweisen, auch wenn sie wahr ist. Dies bedeutet, dass 5% der statistischen Tests uns sagen, dass es Unterschiede zwischen Gruppen gibt, auch wenn es tatsächlich gar keine Unterschiede gibt (falsch-positives Ergebnis). Um die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 1. Art zu begehen, zu senken, könnte man das Alphaniveau α senken. Allerdings würde ein geringeres Alphaniveau gleichzeitig bedeuten, dass wir weniger häufig einen Unterschied erkennen würden, auch wenn dieser tatsächlich existiert. Der Fehler 1. Art ist einer von zwei möglichen Fehler die man beim Hypothesentesten begehen kann. Der zweite Fehler ist der Fehler 2.
Die Überzeugung lautet dann also: Gegeben ist: (Also: Rechtsseitiger Hypothesentest mit. ) Gesucht ist: Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp wird mit dieser Entscheidungsregel also ein Fehler erster Art begangen. Aufgabe 2 Peter besitzt zwei Würfel: [:] Fairer Würfel: Jede Zahl wird mit einer Wahrscheinlichkeit von geworfen. [:] Gezinkter Würfel: Die Zahl 6 wird mit einer Wahrscheinlichkeit von geworfen. Alle anderen Zahlen mit einer Wahrscheinlichkeit von. Peter ist sich fast sicher, dass der rote Würfel, den er gerade in der Hand hat, der faire Würfel ist. Doch um sicher zu gehen möchte er seine Hypothese testen. Hierzu überlegt er sich folgende Regel: Er möchte zehnmal würfeln und sich die Anzahl der auftretenden Sechsen notieren. Wird dreimal oder weniger eine Sechs gewürfelt, dann hält er an seiner Hypothese fest. Ansonsten geht er davon aus, dass er den Würfel in der Hand hält. Bestimme die Fehlerwahrscheinlichkeit erster und zweiter Art bei Peters Vorgehen. Lösung zu Aufgabe 2 Peters Nullhypothese lautet: [:] Der rote Würfel ist der faire Würfel.